Menghitung Luas Segitiga dengan Rumus Heron

Senin, 14 Oktober 2013

Menghitung Luas Segitiga dengan Rumus Heron

Rumus Heron adalah rumus yang dipakai untuk menghitung luas segitiga yang diketahui ketiga sisinya.
Misalkan diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi a, b, dan c. Jika s menyatakan setengah keliling segitiga ABC, atau dikatakan s=½(a+b+c) maka luas segitiga tersebut bisa dinyatakan dengan

$L=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Rumus tersebut bisa dibuktikan sebagai berikut :

Cara pertama

misalkan terdapat sebuah segitiga ABC sebagai berikut dengan alas segitiga adalah a, dan t adalah tinggi segitiga yang ditarik dari titik A

Rumus pythagoras pada segitiga ADC adalah
x² + t² = b²…………………………………………(1)
Rumus pythagoras pada segitiga ADB adalah
(a – x)² + t² = c²
a² – 2ax + x² + t² = c² …………………………..(2)
Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) maka diperoleh
a² – 2ax + b² = c²
2ax = a² + b² – c²
$x=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a}$
Dari persamaan (1) diperoleh
t² = b² – x²
$t^{2}=b^{2}-\left ( \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a} \right )^{2}$
$t^{2}=\left ( b+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a} \right )\left ( b-\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a} \right )$
$t^{2}=\left ( \frac{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a} \right )\left ( \frac{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2a} \right )$
$t^{2}=\left ( \frac{a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}}{2a} \right )\left ( \frac{c^{2}-(a^{2}-2ab+b^{2})}{2a} \right )$
$t^{2}=\left ( \frac{(a+b)^{2}-c^{2}}{2a} \right )\left ( \frac{c^{2}-(a-b)^{2}}{2a} \right )$
$t^{2}=\left ( \frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2a} \right )\left ( \frac{(c+a-b)(c-(a-b))}{2a} \right )$
$t^{2}=\frac{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}{4a^{2}}$
$4a^{2}t^{2}=(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)$
$4a^{2}t^{2}=(a+b+c)(a+b+c-2c)(a+bc-2b)(a+b+c-2a)$
karena s=½(a+b+c) maka a + b + c = 2s
Jadi
$4a^{2}t^{2}=(2s)(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)$

$4a^{2}t^{2}=16s(s-c)(s-b)(s-a)$
Jika kedua ruas diakarkan maka diperoleh
$2at=4\sqrt{s(s-c)(s-b)(s-a)}$

sehingga

$\frac{1}{2}at=2\sqrt{s(s-c)(s-b)(s-a)}$
Jadi luas segitiga adalah
$L=\frac{1}{2}at=2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Cara kedua

Menurut aturan cosinus :
c² = a² + b² – 2ab cos C
2ab cos C = a2 + b2 – c2
$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$
Luas segitiga bisa dinyatakan sbb :
L = ½ab sin C
$L=\frac{1}{2}ab\sqrt{\sin ^{2}C}$
$L=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\cos ^{2}C}$
$L=\frac{1}{2}ab\sqrt{(1+\cos C)(1-\cos C)}$
$L=\frac{1}{2}ab\sqrt{\left ( 1+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \right )\left( 1-\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \right )}$
$L=\frac{1}{2}ab\sqrt{\left ( \frac{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \right )\left( \frac{2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2})}{2ab} \right )}$
$L=\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{(a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2})(c^{2}-(a^{2}-2ab+b^{2}))}{4a^{2}b^{2}}}$
$L=\frac{1}{2}ab.\frac{\sqrt{((a+b)^{2}-c^{2})(c^{2}-(a-b)^{2})}}{2ab}$
$L=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-(a-b))}$

$L=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b+c-2c)(a+b+c-2b)(a+b+c-2a)}$

dengan mengganti a+b+c=2s maka diperoleh

$L=\frac{1}{4}\sqrt{2s(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)}$

$L=\frac{1}{4}\sqrt{16s(s-c)(s-b)(s-a)}$
$L=\frac{1}{4}.4\sqrt{s(s-c)(s-b)(s-a)}$
$L=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Pages

MGMP Matematika SMK Kab Boyolali

Senin, 14 Oktober 2013