Menghitung nilai π

          Nilai π (pi, bukan phi) sering dikenal sebagai nisbah antara keliling dan diameter lingkaran. Berapapun besarnya lingkaran, nisbah K/D selalu konstan. Berikut beberapa cara yang bisa digunakan untuk mendapatkan nilai π.

Cara Primitif

          Cara primitif ini adalah cara yang paling praktis bagi orang yang malas menghitung sekaligus yang paling ribet bagi orang yang malas bereksperimen. Yang dibutuhkan dalam metode ini ialah beberapa contoh benda lingkaran, benang dan mistar. Cukup dengan mengukur keliling dan diameter lingkaran benda-benda tadi, mencari perbandingan K/D, lalu dirata-ratakan, perkiraan nilai π bisa didapatkan.

Cara Geometri (Metode Archimedes)

          Archimedes terilhami oleh poligon, dan beranggapan lingkaran adalah poligon juga, yakni segi-tak hingga beraturan. Dengan membagi lingkaran menjadi n buah segitiga yang sama besar diperoleh:

          Perhatikan bahwa θ = 360°/2n = 180°/n dan y = a/2

Jadi, luas tiap segitiga:

dan luas total segi-n beraturan

Perhatikan lagi agar berlaku perbandingan geometri, maka luas lingkaran haruslah hanya bergantung kepada r, dengan kata lain

Untuk lingkaran (segi-tak hingga beraturan), ambil n = inf. Konstanta inilah yang kita sebut π.

          Jika dihitung dengan mengambil pendekatan n = 1.10⁹, didapatkan π = 3,141592653589793..., akurat hingga 15 angka di belakang koma.

Cara Kalkulus

          Cara ini menggunakan teorema kalkulus, yaitu luas daerah di bawah kurva f(x) dari a sampai b sama dengan integral tertutup f(x) dari a ke b. Karena kita telah mengetahui rumus luas lingkaran

dan menurut teorema di atas tadi,

          Di atas dituliskan L/2, karena luas lingkaran dua kali luas daerah di bawah kurva, yaitu belahan atas dan belahan bawah. Mengingat persamaan lingkaran x² + y² = r², dihasilkan bentuk integral tak wajar

akhirnya didapatkan:

          Bentuk di atas dapat diselesaikan menggunakan bantuan komputer. Menggunakan Matlab dengan linspace(a,b,n) dan fungsi trapz(x,y), jika diambil n = 1.000.000 didapatkan π = 3,14159265026..., akurat 8 angka di belakang koma. Menurut wikipedia, sampai dengan 50 desimal diperoleh

π = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510...